Fungsi
BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang
Matematika sebagai ilmu sains yang
dapat berbentuk ilmu terapan jika diimplementasikan pada cabang ilmu lain.
Relasi adalah salah satu bagian dari ilmu matematika diskrit yang menarik untuk
dipelajari. Dimana relasi merupakan suatu hubungan.
Dalam kehidupan sehari-hari pasti
ada suatu hubungan yang terjadi. Misal “sekumpulan anak-anak kecil yang sedang
bermain dan setiap anak memegang balon berbagai warna”. Dari ini dapat
diberikan pengertian bahwa anak-anak kecil yang mempunyai hubungan dengan balon
berbagai warna yang mereka pegang. Sebelumnya telah dipelajari materi tentang
himpunan. Himpunan adalah sekumpulan benda atau obyek yang dididefinisikan
dengan jelas. Disini terdapat dua himpunan, yang pertama adlah himpunan
anak-anak kecil dan yang kedua adalah himpunan balon berbagai warna.
Pengertian dasar tentang hubungan
antar objek diskrit adalah relasi. Relasi digunakan untuk menyatakan suatu
hubungan antara dua himpunan. Relasi merupakan teori dasar dalam pembahasan
matematika diskrit. Maka perlu untuk membahas relasi. Baik dari definisi
relasi, representasi relasi dan sifat-sifat relasi biner.
Oleh karena relasi tersebut menjadi salah satu dasar dalam
pembahasan matematika diskrit, maka penulis berkeinginan untuk membuat makalah
yang berjudul “Relasi” yang diharapkan dapat menambah pengetahuan mengenai
relasi serta dapat mengenal relasi secara lebih jelas lagi.
B. Rumusan
Masalah
1.
Apa pengertian fungsi?
2.
Apa komponen dalam fungsi?
3.
Bagaimana penulisan fungsi?
4.
Apa saja jenis-jenis fungsi?
5.
Apa saja sifat-sifat fungsi?
C. Tujuan
1.
Mengetahui pengertian fungsi
2.
Mengetahui komponen dalam fungsi
3.
Mengetahui cara penulisan fungsi
4.
Mengetahui jenis-jenis fungsi
5.
Mengetahui sifat-sifat fungsi
BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Fungsi
Fungsi adalah
bentuk khusus dari relasi. Sebuah relasi dikatakan fungsi jika xRy, untuksetiap
x anggota A memiliki tepat satu pasangan, y, anggota himpunan B
Kita dapat
menuliskan f(a) = b, jika b merupakan unsur di B yang dikaitkan oleh f untuk
suatu a di A. Ini berarti bahwa jika f(a) = b dan f(a) = c maka b = c.
Jika f adalah
fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat menuliskan dalam bentuk : f : A → B
B.
Domain, Kodomain, Dan Range
·
f : A →
B
·
A
dinamakan daerah asal (domain) dari f dan B dinamakan daerah hasil (codomain)
dari f.
·
Misalkan f(a) = b,
·
maka b dinamakan bayangan (image) dari a,
·
dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.
·
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f
dinamakan jelajah (range) dari f.
C.
Penulisan Fungsi
1) Himpunan pasangan terurut.
• Misalkan fungsi kuadrat pada
himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} maka fungsi itu dapat dituliskan dalam
bentuk :
f = {(2, 4), (3,
9)}
2) Formula pengisian nilai (assignment)
• f(x) = x2 + 10,
• f(x) = 5x
D.
Jenis-jenis Fungsi
1. Fungsi konstan (fungsi tetap)
Suatu fungsi f : A → B ditentukan dengan
rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi
selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan. Untuk lebih jelasnya,
pelajarilah contoh soal berikut ini.
Diketahui f : R
→ R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | –3 ≤ x < 2}. Sehingga,
gambar grafiknya.
2. Fungsi linear
Suatu fungsi
f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di
mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.
Perhatikan contoh berikut.
Diketahui f(x) =
2x + 3, gambar grafiknya
Fungsi Kuadrat
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu
ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan
konstan dan grafiknya berupa parabola.
Perhatikan contoh fungsi kuadrat berikut.
Fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 + 2x – 3, gambar
grafiknya.
Fungsi identitas
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi
identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap
anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas
berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun
ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. Agar lebih memahami
tentang fungsi identitas, pelajarilah contoh berikut ini.
Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.
a. Carilah f(–2), f(0), f(1), f(3).
b. Gambarlah grafiknya.
Penyelesaian:
a. Nilai f(–2), f(0), f(1), dan f(3).
f(x) = x
f(–2) = –2
f(0) = 0
f(1) = – 1
f(3) = 3
E. Sifat-sifat Fungsi
1) Fungsi
Injektif/satu-satu
·
Fungsi satu-satu
·
Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu jika
dan hanya jika untuk sembarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku
f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama
dengan f(a2).
2) Fungsi
Surjektif/ onto
·
Fungsi kepada
·
Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada jika dan
hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a
dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b.
·
Suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan
range-nya (semua kodomain adalah peta dari domain).
3) Fungsi
Bijektif/ korespondensi satu-satu
·
Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif
jika dan hanya jika untuk sembarangb dalam kodomain B terdapat tepat satu a
dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan
dalam B.
·
Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah fungsi
injektif sekaligus fungsi surjektif.
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Relasi adalah
sebuah hubungan antara dua himpunan. Perkalian kartesian dari himpunan A dan B
adalah himpunan yang elemennya semua pasangan terurut yang mungkin terbentuk
dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.
Untuk menyatakan
relasi ada tiga metode, yaitu : dengan himpunan pasangan berurutan, dengan
diagram panah, diagram rumus.
B. Saran
Dari makalah
ini, saran penulis untuk menyatakan relasi dapat menggunakan metode yang paling
mudah antara ketiganya atau menggunakan tiga metode tersebut .
DAFTAR PUSTAKA
Wibisono, Samuel. 2008. Matematika Diskrit Ed. 02. Jakarta :
Graha Ilmu
Foter, Bob. 2006. Soal dan Pembahasan Relasi. Jakarta :
Erlangga
Hariyono Rudi, Drs. 2005. Pintar Matematika SMA. Jakarta :
Gitamedia Press
http://www.scribd.com/doc/57121362/makalah-lengkap diakses pada tanggal 13 Februari 2016
http://www.mangwar.wordpress.com diakses pada tanggal 13
Februari 2016